Сократить

Привет! Давай вместе сократим это выражение.

На картинке у тебя выражение содержит перестановки и сочетания: \( P_{m-n} \) - это перестановка из (m-n) элементов, а \( A_m^n \) - это размещение из m элементов по n.

Чтобы сократить это выражение, вспомним определения:

• Перестановка из k элементов (\( P_k \)) равна k факториал (k!).
• Размещение из m элементов по n (\( A_m^n \)) равно дроби, где в числителе m факториал, а в знаменателе (m-n) факториал.

Теперь приступим к сокращению. Сначала распишем размещение:

\( A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!} \)

Теперь подставим это в исходное выражение вместо \( A_m^n \) и перестановку \( P_{m-n} \):

\( \frac{P_{m-n} \cdot A_m^n}{P_{m+1}} \) превращается в \( \frac{(m-n)! \cdot \frac{m!}{(m-n)!}}{(m+1)!} \)

Теперь можно сократить факториалы (m-n)! и у нас получается:

\( \frac{m!}{(m+1)!} \)

Мы видим, что в числителе у нас m!, а в знаменателе (m+1)!, что равносильно \( m! \times (m+1) \). Сокращаем m! и получаем:

\( \frac{1}{m+1} \)

Вот и все, выражение сократилось до \( \frac{1}{m+1} \).