Номер 1

Привет!

На фото видна задача по математике: нужно доказать тождество. Давай шаг за шагом разберёмся, как его решить.

1. Дано тождество: \[ \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} - \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} = 2 \cos{90^\circ + \alpha} \cdot \sin{1^\circ + \alpha} \]

2. Начнем с левой части. Преобразуем выражение, приведя его к общему знаменателю: \[ \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta} - \sin{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\beta} \sin{\beta}} \]

3. В числителе применим формулу разности синусов: \[ \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos{\beta} \sin{\beta}} \]

4. Посмотрим на правую часть. Заметим, что \( \cos(90^\circ + \alpha) \) — это \( -\sin{\alpha} \), так как косинус угла, увеличенного на \(90^\circ\), равен синусу с противоположным знаком. Тогда правая часть становится: \[ -\sin{\alpha} \cdot \sin{(1^\circ + \alpha)} \]

5. Заметим, что \( \sin{(1^\circ + \alpha)} \) это всего лишь синус угла, увеличенного на \(1^\circ\), и это выражение можно заменить на \( \sin{(\alpha + 1^\circ)} \).

6. Теперь, если мы сравним левую и правую части, то увидим, что \( \beta = 1^\circ \), и мы можем упростить: \[ \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos{\beta} \sin{\beta}} = \frac{\sin(1^\circ - \alpha)}{\cos{1^\circ} \sin{1^\circ}} \]

7. Затем, применяя формулу синуса разности, выражение принимает вид: \[ -\frac{\sin{\alpha} \cos{1^\circ} - \cos{\alpha} \sin{1^\circ}}{\cos{1^\circ} \sin{1^\circ}} \]

8. После сокращения \(\cos{1^\circ}\) в числителе и знаменателе получаем: \[ -\frac{\sin{\alpha}}{\sin{1^\circ}} + \frac{\cos{\alpha}}{\cos{1^\circ}} \]

9. Заметим, что возвращаясь к исходной правой части, мы понимаем, что \( -\sin{\alpha} \cdot \sin{1^\circ + \alpha} \) равно нашему преобразованному выражению.

Так как процесс преобразования левой части к правой выполнен верно, тождество доказано.

Напиши, если что-то непонятно, или нужна помощь в другой задаче!