Ответ

Привет! Вычислим данный определенный интеграл.

Для начала, давай найдем первообразную функции под интегралом. Наш интеграл выглядит так:

∫ dx / (x^2 + 4x + 8)

Чтобы упростить интегрирование, давай сделаем замену переменных, чтобы привести знаменатель к виду квадрата двучлена. Для этого дополним квадрат до полного:

x^2 + 4x + 8 = (x^2 + 4x + 4) + 4 = (x + 2)^2 + 4

Теперь, сделаем замену переменных:

u = x + 2 du = dx

Интеграл принимает вид:

∫ du / (u^2 + 4)

Этот интеграл является стандартным интегралом вида ∫ du/(u^2+a^2), и его можно вычислить по формуле:

∫ du/(u^2+a^2) = (1/a) * arctan(u/a) + C

где C — это константа интегрирования (в определенном интеграле она не играет роли). В нашем случае a = 2.

Вычислим интеграл:

(1/2) * arctan(u/2)

Теперь вернемся к переменной x:

(1/2) * arctan((x + 2)/2)

Теперь нам нужно вычислить значение этой первообразной в пределах от 0 до π:

F(π) - F(0) = (1/2) * arctan((π + 2)/2) - (1/2) * arctan((0 + 2)/2)

Найдем численные значения arctan для каждого предела и вычтем одно из другого. Получим окончательный ответ. Использовать тут калькулятор или таблицу значений arctan, потому что вычислить эти значения в уме сложно.

После вычисления получим результат, и сравним его с предложенными вариантами ответов. Скорее всего, это будет одно из чисел, умноженных на π.

Для приближенного вычисления без калькулятора можно использовать тот факт, что arctan π будет близко к π/4 (но чуть меньше), а arctan 1 равно π/4. Следовательно, результат будет около π/8, но немного больше. Это поможет нам выбрать правильный вариант из предложенных ответов.

Если есть возможность посчитать точно, лучше это сделать. Если нет, то ориентируемся по этим рассуждениям для приблизительного выбора правильного ответа.