Найдите критические точки. Определите, какие из них являются точками максимумв какие минимума: f(x) =- x^3+3x-2

Для нахождения критических точек функции \( f(x) = -x^3 + 3x - 2 \) нужно найти её производную и приравнять к нулю.

Найдем первую производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x - 2) = -3x^2 + 3 \]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]

Таким образом, критическими точками функции являются \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, необходимо проанализировать знаки второй производной функции \( f(x) \). Как у нас имеем дело с кубической функцией, выполняется критерий знаков второй производной: если \( f''(x) > 0 \), то точка является точкой локального минимума, а если \( f''(x) < 0 \), то точка является точкой локального максимума.

Теперь найдем вторую производную функции \( f(x) \): \[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(-x^3 + 3x - 2) = -6x \]

Подставим критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) во вторую производную: \[ f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 \] \[ f''(1) = -6(1) = -6 < 0 \]

Итак, \( x = -1 \) является точкой локального максимума, а \( x = 1 \) - точкой локального минимума для функции \( f(x) = -x^3 + 3x - 2 \).