Решите тригонометрические уравнения

Привет! Давай посмотрим на тригонометрические уравнения, которые у тебя есть, и попробуем их решить.

1. sin 3x cos x - sin x cos 3x = 1

Используем формулы приведения и преобразования произведения в сумму: sin 3x cos x - sin x cos 3x = sin(3x + x) = sin 4x

Получаем уравнение: sin 4x = 1

Основное решение для sin a = 1 - это когда a = π/2 + 2πk, где k - целое число. Таким образом, для 4x мы имеем: 4x = π/2 + 2πk

Решим для x: x = π/8 + πk/2

2. 2 cos²x + 5 cos x = 3

Это квадратное уравнение по переменной cos x. Сделаем замену переменной: пусть cos x = t. Тогда у нас получается: 2t² + 5t - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t и найдем корни. Затем обратим замену и решим относительно x.

3. tg x - 3 ctg x = 0

Преобразуем ctg x к tg x, используя, что ctg x = 1/tg x: tg x - 3/tg x = 0

Это уравнение также решается как квадратное по переменной tg x. Делаем замену: пусть tg x = t. Получим уравнение: t - 3/t = 0

Умножим обе части на t (при условии, что t не равно 0), чтобы избавиться от дроби: t² - 3 = 0

Решим это уравнение и затем найдем x.

4. sin 3x - sin x = 0

Применим формулу разности синусов: 2sin((3x - x)/2)cos((3x + x)/2) = 0

То есть получим два уравнения: sin x = 0 и cos 2x = 0

Решим каждое из них.

5. 2 sin x + sin 2x = 0.

Используем формулу синуса двойного угла sin 2x = 2sin x cos x: 2 sin x + 2sin x cos x = 0

Вынесем sin x за скобки: sin x (2 + 2cos x) = 0

Получаем два уравнения: sin x = 0 и 2cos x = -2, или cos x = -1

Решим оба уравнения.

Надеюсь, тебе понятно, как я преобразовал уравнения. Если что-то осталось непонятным, не стесняйся спрашивать!