Решите уравнения

Давай посмотрим на представленное изображение и решим уравнения. Начнем с первого.

1. \( 2 \cos(x) + \sqrt{3} = 0 \).

Переносим \( \sqrt{3} \) вправо:

\( 2 \cos(x) = -\sqrt{3} \).

Теперь делим обе стороны на 2:

\( \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Значения косинуса равны \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) при \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Теперь решим второе уравнение:

2. \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0 \).

Переносим 1 вправо:

\( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1 \).

Синус принимает значение -1 при \( x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или когда \( x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Решим третье уравнение:

3. \( \cos^2(x) + 3 \sin(x) - 3 = 0 \).

Используем тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), тогда \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \). Подставим это выражение в уравнение:

\( 1 - \sin^2(x) + 3 \sin(x) - 3 = 0 \).

Переносим все в левую сторону:

\( \sin^2(x) - 3 \sin(x) + 2 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( \sin(x) \):

\( \sin(x) = 2 \) или \( \sin(x) = 1 \).

Синус не может быть больше 1, значит берем \( \sin(x) = 1 \), и это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

И наконец четвертое уравнение:

4. \( 3 \sin(x) - 2 \sin(x) + \cos(x) = 0 \).

Упростим:

\( \sin(x) + \cos(x) = 0 \).

Перенесем \( \cos(x) \) вправо:

\( \sin(x) = -\cos(x) \).

Разделим обе стороны на \( \cos(x) \) (при условии, что \( \cos(x) \neq 0 \)):

\( \tan(x) = -1 \).

Тангенс равен -1 при \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Это решения для представленных уравнений. Если что-то непонятно, спрашивай, помогу разобраться!