6.20

Привет! Давай разберёмся с задачей 6.20. Надо показать, что функция

\[ f(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x > 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases} \]

дифференцируема в точке \( x = 0 \).

Чтобы показать это, нам необходимо доказать, что существует конечный предел при \( x \) стремящемся к 0 отношения изменения функции к изменению аргумента, то есть предел отношения \(\Delta f / \Delta x \), который и будет являться производной функции в точке \( x = 0 \).

Функция задана разными выражениями для разных интервалов, поэтому нам нужно рассмотреть односторонние пределы.

Для \( x < 0 \) функция \( f(x) = -x^2 \), и её производная \( f'(x) = -2x \). В точке \( x = 0 \) с левой стороны предел этой производной будет \( -2 \times 0 = 0 \).

Для \( x > 0 \) функция \( f(x) = x^2 \), и её производная \( f'(x) = 2x \). В точке \( x = 0 \) с правой стороны предел производной будет \( 2 \times 0 = 0 \).

Итак, односторонние пределы совпадают и равны 0. Это означает, что и полный предел существует и равен 0.

Таким образом, производная функции в точке \( x = 0 \) существует и равна 0. Функция дифференцируема в этой точке.

Надеюсь, это помогло тебе понять, как решается задача! Если что-то ещё не понятно – пиши, обсудим.