6.15

Привет! Вижу, ты работаешь с задачами на нахождение производной функции. Давай рассмотрим задачу 6.15, где нужно найти \( f'(x_0) \) для функции \( f(x) = |x - 1| + |x + 1| \), и \( x_0 = \pm1 \).

Сначала надо разобраться с модулями. Модуль раскрывается иначе для отрицательных и для положительных значений аргумента. Для нашей функции разобьем определение на три интервала: \( x < -1 \), \( -1 \leq x \leq 1 \), и \( x > 1 \), и для каждого из них раскроем модули.

1. Если \( x < -1 \), то \( |x - 1| = -(x - 1) \), и \( |x + 1| = -(x + 1) \).
2. Если \( -1 \leq x \leq 1 \), то \( |x - 1| = -(x - 1) \), и \( |x + 1| = x + 1 \).
3. Если \( x > 1 \), то \( |x - 1| = x - 1 \), и \( |x + 1| = x + 1 \).

Теперь можем посчитать производные функций для каждого из интервалов:

1. \( f'(x) = -1 - 1 = -2 \), если \( x < -1 \).
2. \( f'(x) = -1 + 1 = 0 \), если \( -1 \leq x \leq 1 \).
3. \( f'(x) = 1 + 1 = 2 \), если \( x > 1 \).

Так как производная в точке \( x_0 = \pm1 \) должна соответствовать величине, к которой стремится производная слева или справа от этой точки, получаем:

• Для \( x_0 = -1 \): \( f'(-1) \) будет равна левостороннему пределу производной, который равен -2.
• Для \( x_0 = 1 \): \( f'(1) \) будет равна правостороннему пределу производной, который равен 2.

То есть, ответы:

• \( f'(-1) = -2 \)
• \( f'(1) = 2 \)

Вроде разобрались! Надеюсь, это поможет тебе с заданием. Если есть еще вопросы - спрашивай!