Упрости выражение

Давай вместе упростим это выражение шаг за шагом.

Первое, что нужно сделать, это раскрыть скобки в числителе второй дроби, обратив внимание на отрицательную степень:

\( (a^2 + 1)^{-1} \) эквивалентно \( \frac{1}{a^2 + 1} \)

Теперь у нас выглядит так:

\( (a^2 - a^{-2}) \cdot \frac{1}{a^2 + 1} + 1 \)

Также, \( a^{-2} \) это то же самое, что \( \frac{1}{a^2} \), поэтому первое слагаемое в скобках можно записать так:

\( (a^2 - \frac{1}{a^2}) \)

Теперь можем упростить второй множитель:

\( (a^2 - \frac{1}{a^2}) \cdot \frac{1}{a^2 + 1} + 1 \)

Далее необходимо перемножить две дроби, представив \( a^2 - \frac{1}{a^2} \) как дробь с общим знаменателем \( a^2 \):

\( \frac{a^4 - 1}{a^2} \cdot \frac{1}{a^2 + 1} + 1 \)

Теперь перемножим две дроби:

\( \frac{a^4 - 1}{a^2 \cdot (a^2 + 1)} + 1 \)

Дробь \(a^4 - 1\) представляет собой разность квадратов и может быть разложена на множители:

\( a^4 - 1 \) это \( (a^2 - 1)(a^2 + 1) \)

Подставляем это обратно в уравнение:

\( \frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)}{a^2 \cdot (a^2 + 1)} + 1 \)

Мы видим, что \( a^2 + 1 \) у нас есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются:

\( \frac{a^2 - 1}{a^2} + 1 \)

Ещё раз разделим на части:

\( \frac{a^2}{a^2} - \frac{1}{a^2} + 1 \)

После сокращения \(a^2\) в первой части дроби, получаем:

\( 1 - \frac{1}{a^2} + 1 \)

Теперь сложим 1 и 1 в конце:

\( 2 - \frac{1}{a^2} \)

И это наше упрощенное выражение! Если что-то непонятно, спрашивай, разберемся вместе.