Сократите /

Привет! Давай посмотрим, что у нас тут за задача.

Нужно сократить дробь. У нас в числителе a^15 + 2a^8 + a^3, а в знаменателе a^7 + a^(-5) + 2.

Начнем с того, что приведем подобные слагаемые, но сначала стоит вспомнить свойства степеней. Так, a^(-5) эквивалентно 1/a^5.

Теперь давай попробуем вынести общий множитель в числителе:

Числитель: a^3(a^12 + 2a^5 + 1), это равносильно a^3(a^3)^4 + 2a^3 * a^5 + a^3.

Знаменатель: a^7 + a^(-5) + 2 можно записать как a^7 + 1/a^5 + 2.

Выражение степеней через a^3 поможет нам выявить общий множитель.

Теперь посмотрим на знаменатель, мы можем вынести общий множитель a^3 за скобки, так как a^7 это a^3 * a^4 и 1/a^5 это a^3 * 1/a^8. Но лучше поступить немного иначе: вынести в знаменателе a^(-5) и получить выражение (1/a^5)(a^12 + 1 + 2a^5).

Теперь заметь, что если мы делаем подобную операцию в числителе и знаменателе, мы получим общий множитель a^3 в числителе и a^(-5) в знаменателе, и эти два множителя сокращаются, так как a^3 * a^(-5) это a^(3-5) это a^(-2) или 1/a^2, и это обратная степень которая сокращается с самой собой, так что в числителе и знаменателе остается a^(12-(-5)) что равно a^17.

Таким образом, исходная дробь упрощается до:

a^17 + 2a^5 + 1 деленное на a^12 + 2a^5 + 1.

В этом выражении числитель и знаменатель уже не сократятся дальше, так как нет общих степенной множителей.

Итак, конечная упрощенная форма дроби:

(a^17 + 2a^5 + 1) / (a^12 + 2a^5 + 1)

Если у тебя возникнут вопросы по ходу решения или если что-то осталось непонятным — спрашивай, разберемся вместе!