Полное решение всех заданий

Привет! Я вижу, тебе нужно найти производные функций. Давай сделаем это вместе.

а) Для функции \( y = x^4 \), производная находится по правилу степени: взять степень и умножить её на коэффициент при переменной, а затем уменьшить степень на единицу. Получается, \( y' = 4x^3 \).

б) То же самое сделаем для \( y = 7x^3 \): \( y' = 21x^2 \).

в) Подобные действия проделываем и для \( y = \frac{1}{x^9} \), только здесь учитываем, что это \( x^{-9} \), и производная будет \( y' = -9x^{-10} \), что можно записать как \( -\frac{9}{x^{10}} \).

г) С функцией \( y = x^{\frac{8}{6}} \) или \( y = x^{\frac{4}{3}} \) делаем аналогично предыдущим: \( y' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} \).

д) Для \( y = \sqrt[3]{x^8} \), сначала запишем под корнем как \( x^{\frac{8}{3}} \), а производная тогда будет \( y' = \frac{8}{3}x^{\frac{5}{3}} \).

е) Теперь для функции \( y = 4x^7 - 5x^4 + 7 \), будем действовать почленно: \( y' = 28x^6 - 20x^3 + 0 \).

ж) Для \( y = 5x^2 - 4 \) \( (3x^3 + 8) \) у нас произведение, используем правило произведения (производная первого на второй плюс первый на производную второго): \( y' = 10x(3x^3 + 8) + (5x^2 - 4)(9x^2) \).

и) Сложная функция \( y = \sin x + 2\ctg x \): производная синуса \( \sin x \) это \( \cos x \), а производная \( \ctg x \) это \( -\csc^2 x \) (коcеканс в квадрате), получаем \( y' = \cos x - 2\csc^2 x \).

к) И наконец, для \( y = 4\cos x - 2\tg x \), производная косинуса это \( -\sin x \), производная тангенса это \( \sec^2 x \) (секанс в квадрате), значит \( y' = -4\sin x - 4\sec^2 x \).

Надеюсь, это поможет тебе с заданиями! Если что-то непонятно, спрашивай, и мы вместе разберемся.