1.47 (в)

Привет! Давай посмотрим на схему и разберёмся, как решить задачу.

Видно, что дана схема бесконечной лестницы с резисторами. Чтобы найти сопротивление между точками A и B этой цепи, нам нужно заметить, что сопротивление бесконечной части цепи одинаково, если смотреть от любой пары точек A и B, находящихся на одной ступеньке лестницы.

Обозначим искомое сопротивление между точками A и B как R. Если мы посмотрим на точки A и B на следующей ступеньке, сопротивление между ними тоже будет R, потому что цепь бесконечная и симметричная.

Тогда рассмотрим цепь слева от этих точек (цепь между точками A и B на первой ступеньке). Справа от этих точек сопротивление R. Теперь мы видим, что правда резистор 2r и образованное им и R сопротивление соединены параллельно. А далее последовательно с этой параллельной комбинацией соединены резисторы 3r и 2r.

1. Рассчитаем параллельное соединение резистора 2r и сопротивления цепи R:

1/Rпарал = 1/2r + 1/R Rпарал = 2rR / (R + 2r)

2. Теперь рассмотрим последовательное соединение. Его сопротивление будет равно:

Rпосл = 3r + Rпарал + 2r = 3r + (2rR/(R + 2r)) + 2r Rпосл = (5r(R + 2r) + 2rR) / (R + 2r) Rпосл = (5rR + 10r^2 + 2rR) / (R + 2r) Rпосл = R(5r + 2r) + 10r^2 / (R + 2r) Rпосл = 7rR + 10r^2 / (R + 2r)

Так как Rпосл также равно R (по начальному предположению), получаем уравнение:

R = (7rR + 10r^2) / (R + 2r)

Теперь умножим обе стороны на (R + 2r) чтобы избавиться от знаменателя:

R(R + 2r) = 7rR + 10r^2

Разворачиваем левую сторону:

R^2 + 2rR = 7rR + 10r^2

Переносим всё в левую сторону:

R^2 + 2rR - 7rR - 10r^2 = 0 R^2 - 5rR - 10r^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно R. Решаем его как стандартное квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac D = (-5r)^2 - 41(-10r^2) D = 25r^2 + 40r^2 D = 65r^2

D > 0, значит, у уравнения есть два корня. Но поскольку сопротивление не может быть отрицательным, берем только положительный корень. Корни квадратного уравнения будут следующими:

R = (-b ± √D) / (2a)

Для нашего уравнения a = 1, b = -5r, c = -10r^2:

R = (5r ± √65r^2) / 2 R = (5r ± r√65) / 2

Так как сопротивление не может быть отрицательным, берем положительный знак:

R = (5r + r√65) / 2

Это и есть искомое сопротивление между точками A и B.

Надеюсь, это объяснение помогло тебе разобраться с задачей!