Найти функцию, производная которой у’=4x^3-1/2 √ x-1 если при x=2 эта функция принимает значение 0

Для нахождения функции, производная которой равна \(u'=4x^3-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1\), и при \(x=2\) значение функции равно 0, мы можем использовать процесс интегрирования для восстановления исходной функции \(u(x)\).

1. Вычислим интеграл производной \(u'\) по переменной \(x\): \[ \int (4x^3-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1)\,dx = u(x) \]

2. Найдем значение \(C\) в результате интегрирования: \[ u(x) = \int 4x^3\,dx - \int \frac{1}{2}\sqrt{x}\,dx - \int 1\,dx + C \]

3. Выполним вычисления: \[ u(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}} - x + C \]

4. Теперь, чтобы найти значение \(C\) исходя из условия \(u(2) = 0\), подставим \(x=2\) в уравнение: \[ 0 = 2^4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 + C \]

5. Решаем уравнение для нахождения \(C\): \[ 0 = 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 + C \] \[ C = -16 + \frac{1}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 2 \]

Таким образом, искомая функция будет: \[ u(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}} - x - 16 + \frac{1}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 2 \]