Найти функцию, производная которой у’=4x^3-1/2 √ x-1 если при x=2 эта функция принимает значение 0

Для нахождения функции, производная которой равна \( у' = 4x^3 - \frac{1}{2} \sqrt{x} - 1 \), и при \( x = 2 \) значение этой функции равно 0, нужно проинтегрировать производную \( у' \) по х и найти интегральную константу с учетом условия \( y(2) = 0 \).

Итак, нам дана производная функции \( у' \): \[ у' = 4x^3 - \frac{1}{2} \sqrt{x} - 1 \]

Для нахождения оригинальной функции \( у \) проинтегрируем данную производную: \[ у = \int (4x^3 - \frac{1}{2} \sqrt{x} - 1) dx \]

Вычислим первообразную для каждого слагаемого: \[ у = x^4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - x + C \]

Теперь у нас есть общее выражение для функции \( у \): \[ у = x^4 - \frac{1}{3} x^{3/2} - x + C \]

С учетом условия \( y(2) = 0 \) найдем значение константы \( C \): \[ 0 = 2^4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3/2} - 2 + C \] \[ 0 = 16 - \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 - 2 + C \] \[ 0 = 16 - \frac{4}{3} - 2 + C \] \[ 0 = 16 - \frac{4 + 6}{3} + C \] \[ 0 = 16 - \frac{10}{3} + C \] \[ C = \frac{10}{3} - 16 = -\frac{38}{3} \]

Таким образом, искомая функция: \[ у = x^4 - \frac{1}{3} x^{3/2} - x - \frac{38}{3} \]