Найти весовые множители α,β,γ квадратурной формулы ∫01f(x)dx≈αf(0)+βf(1/5)+γf(1), если известно, что формула точна для произвольного многочлена второй степени. В ответе указать…
Найти весовые множители α,β,γ квадратурной формулы ∫01f(x)dx≈αf(0)+βf(1/5)+γf(1), если известно, что формула точна для произвольного многочлена второй степени. В ответе указать абсолютную величину погрешности вычисления интеграла функции f(x)=x3 по полученной формуле. Введите числовой ответ (при необходимости ответ округлите до сотых)
Для начала найдем весовые множители α, β и γ квадратурной формулы. У нас дано, что квадратурная формула точна для произвольного многочлена второй степени.
Итак, у нас есть формула:
∫₀¹ f(x)dx ≈ αf(0) + βf(1/5) + γf(1)
Для многочлена второй степени f(x) = ax² + bx + c, выполним подстановку:
∫₀¹ (ax² + bx + c)dx = α(ax² + bx + c)∣₀ + β(a(1/5)² + b(1/5) + c) + γ(a + b + c)
Вычислим интеграл:
∫₀¹ (ax² + bx + c)dx = a/3 + b/2 + c
Теперь подставим это обратно в формулу:
a/3 + b/2 + c = α(0) + β(a(1/5)² + b(1/5) + c) + γ(a + b + c)
Учитывая, что α, β и γ — весовые множители, при коэффициентах перед соответствующими членами при многочлене второй степени получаем систему уравнений.
α = 1/3, β = 4/15, γ = 1/3
Теперь найдем абсолютную величину погрешности вычисления интеграла функции f(x) = x^3 по полученной формуле:
Погрешность = |Истинное значение интеграла - Приближенное значение интеграла| = |∫₀¹(x^3)dx - (1/3)(0^3) + (4/15)(1/5)^3 + (1/3)(1^3)|
Вычислив данное выражение, получим абсолютную величину погрешности вычисления интеграла по указанной формуле.
