на фото

На фото видна математическая задача – это уравнение третьей степени относительно \(\cos 2x\):

\[ 4\sin^4 2x + 3\cos 4x - 1 = 0 \]

Чтобы его решить, сначала выполним несколько тригонометрических преобразований. Используем формулу понижения степени для \(\sin^2x\):

\[ \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]

Теперь подставим \( \sin^2 2x \):

\[ 4\left(\frac{1 - \cos 4x}{2}\right)^2 + 3\cos 4x - 1 = 0 \]

Далее раскроем квадрат и приведём подобные слагаемые:

\[ 4\left(\frac{1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x}{4}\right) + 3\cos 4x - 1 = 0 \]

\[ 1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x + 3\cos 4x - 1 = 0 \]

\[ \cos^2 4x + \cos 4x = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( \cos 4x \), которое мы решаем через факторизацию:

\[ \cos 4x (\cos 4x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два уравнения:

1. \( \cos 4x = 0 \)
2. \( \cos 4x + 1 = 0 \)

Решим первое:

\[ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим второе:

\[ \cos 4x = -1 \] \[ 4x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений, которые мы представили в виде двух последовательностей. Удачи с математикой!