Номер 22
Конечно, давайте решим задачу номер 22 вместе!
Сначала нужно понять, о какой функции идёт речь. Функция, данная в задании, это \( y = 2x + 4|\frac{x}{2}| - x^2 \). Задача состоит в том, чтобы построить график этой функции и определить, при каких значениях \( x \) график \( y \) имеет с графиком функции \( y = c \) ровно три общие точки. То есть, нам нужно выяснить, при каких \( c \) горизонтальная линия пересечёт кривую \( y \) в трёх местах.
Для начала разберёмся с модулем, который входит в функцию. Функция \( y = 4|\frac{x}{2}| \) будет такой же, как и функция \( y = 2|x| \), только вдвое меньше по вертикали. Это значит, что график будет раскрываться вверх как "V" с вершиной в начале координат. Поскольку функция задана как \( 2x + 4|\frac{x}{2}| - x^2 \), мы видим, что это квадратичная функция, скорректированная на линейный член и абсолютное значение, которое придает графику дополнительный изгиб.
Для того чтобы найти, при каких \( c \) пересечений будет три, нам необходимо:
- Построить график данной функции частями. Исследовать функцию на промежутках \( x < 0 \) и \( x > 0 \), так как модуль изменит знак и повлияет на функцию.
- Учесть, что функция будет симметричной относительно оси ординат из-за модульной составляющей.
- Определить вершины параболы и точки перегиба, чтобы понять форму графика.
- Нарисовать горизонтальные линии (уровни \( c \)) различной высоты и определить, на каких уровнях пересечения произойдут трижды.
Когда мы построим график, мы сможем визуально оценить, для каких \( c \) пересечения будут трижды. Значения \( c \), при которых это условие выполняется, будут находиться в областях между локальными экстремумами (максимумами и минимумами) функции.
Понятно, что для нахождения точных значений \( c \) можно использовать производную функции, чтобы найти экстремумы, но так как нам нужно только качественное понимание графика, мы можем ограничиться общим изучением функции и её графика.
