Дано:AB перпендикулярно CD=O; AO=OD Доказать: AC=BD

Дано, что AB перпендикулярно CD и AO равно OD.

Чтобы доказать, что AC равно BD, докажем, что треугольники AOC и BOD равны друг другу.

Для этого можно использовать два критерия равенства треугольников: угол-угол-угол (УУУ) и сторона-угол-сторона (СУС).

Сначала обратимся к критерию УУУ. Так как AO равно OD, у нас имеется равенство углов OAD и ODA, обозначим их меру как α. Также, у нас имеется перпендикуляр AB к CD, а значит, у нас имеется равенство углов CDA и BDA, обозначим их меру как β.

Теперь рассмотрим критерий СУС. Мы уже знаем, что AO равно OD, поэтому сторона OA равна стороне OD. Также, у нас имеется перпендикуляр AB к CD, значит, сторона AB равна стороне CD.

Теперь сравним треугольники AOC и BOD по этим критериям.

1. УУУ: OAD (α) = ODA (α); CDA (β) = BDA (β); AO = OD (дано); ∠OAD = ∠ODB (угол-вертикальный); ∠ODA = ∠ODA (основа).

2. СУС: OA = OD (дано); AB = CD (дано); ∠OAD = ∠ODB (угол-вертикальный).

Таким образом, по обоим критериям треугольники AOC и BOD равны друг другу. А если два треугольника равны, то и их соответствующие стороны равны.

Следовательно, AC равно BD. Доказано.