Зделайте задачи 1,4 и 5
Привет! Посмотрим на картинку, чтобы решить задачи 1, 4 и 5.
Задача 1 На четырехугольнике \(MPDQ\) угол \(MQD\) равен \(65^\circ\), а угол \(MPD\) равен \(45^\circ\). Здесь нам нужно найти угол \(PMQ\). Вспоминаем, что сумма углов в четырехугольнике всегда равна \(360^\circ\). Таким образом, сложим два известных угла и вычтем их из \(360^\circ\), чтобы найти сумму двух остальных углов. Потом из этой суммы вычтем \(90^\circ\), так как \(MPQ\) – прямоугольник, и узнаем угол \(PMQ\).
\(65^\circ + 45^\circ = 110^\circ\), \(360^\circ - 110^\circ = 250^\circ\), значит, сумма углов \(PMQ\) и \(PQM\) равна \(250^\circ\). Учитывая, что \(PQM = 90^\circ\), получаем \(PMQ = 250^\circ - 90^\circ = 160^\circ\). Вариантов на \(160^\circ\) нет в ответах, значит, ошибка где-то в рассуждениях. Давай перепроверим. А верно, мы забыли, что у четырехугольника еще есть угол \(DPQ\). Нам нужно \(250^\circ\) разделить на два, так как два неизвестных угла в четырехугольнике равны между собой (у нас прямоугольник \(MPQ\)). Итак, \(250^\circ : 2 = 125^\circ\). Это угол \(PMQ\). Правильный ответ – вариант А) \(125^\circ\).
Задача 4 Снова вспомним основные свойства фигур. Трапеция разделена на три равные части диагоналями \(AM\) и \(MB\). Периметр трапеции \(ABCD\) равен \(c\) см. Нам нужно выразить длину отрезка \(MN\) через \(c\).
Так как \(AM = MB = MC\), то эти отрезки составляют три равные части периметра трапеции. Периметр трапеции \(c\) делится на шесть равных частей, потому что диагональ делит боковую сторону пополам. Значит:
\(MN = \dfrac{1}{6}c\).
Вариантов с таким ответом в задаче нет, что говорит о том, что я допустил ошибку. Давай вернемся к началу и аккуратно посчитаем. Периметр равен длине всех сторон фигуры. Диагональ делит боковую сторону пополам, да, но она же делит и основание \(BC\) пополам. Получается, что на отрезки \(MB\), \(MC\), \(AM\) и \(BN\), \(NC\) приходится только половина периметра, так как другая половина это основания \(AB\) и \(CD\). Значит, \(MN\) это одна часть из трех, на которые делится половина периметра. То есть:
\(MN = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}c = \dfrac{1}{6}c\).
Снова получили тот же результат, но теперь рассуждения верны. Убедимся, что нет других соображений, которые мы могли упустить. Действительно, отрезки \(AD\) и \(BC\) не влияют на длину \(MN\), поскольку диагонали разделяют именно боковые стороны и половину основания. Значит, если варианта с \(\frac{1}{6}c\) нет, значит, есть ошибка в условии. Но так как мы должны выбрать наиболее подходящий ответ из предложенных, возможно, стоит переосмыслить задачу – \(MN\) является средней линией трапеции, длина которой равна полусумме основ. Получается, что задачу необходимо решить, исходя из свойств средней линии, а не разделения периметра. Средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований:
\(MN = \dfrac{AD + BC}{2}\).
Так как периметр равен сумме всех сторон, то и чтобы найти сумму оснований, можно отнять от периметра двойную сумму боковых сторон:
\(AD + BC = c - 2(AM + MC) = c - 2 \cdot \dfrac{1}{2}c = \dfrac{1}{2}c\).
Таким образом, средняя линия:
\(MN = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}c = \dfrac{1}{4}c\).
Теперь это смотрится правильно и ответ есть в вариантах:
Вариант В) \(10a\) – неподходящий, так как в уравнении нет \(a\). Вариант А) \(16a\) – опять же отметаем. Вариант Г) \(8a\) – не подходит, так как у нас \(\dfrac{1}{4}c\). Вариант Д) \(6a\) – опять таки нет в уравнении.
Так как ни один из вариантов не подходит под получившийся у нас ответ \(\dfrac{1}{4}c\), и мы не можем изменить рассуждения, похоже, что здесь есть ошибка в условии или вариантах ответов. Правильный ответ должен быть “\(\dfrac{1}{4}c\)”.
Задача 5 Нам нужно найти длину отрезка \(OE\), зная, что он лежит на диагонали \(AC\) четырехугольника \(ABCD\), и что периметр треугольника \(ADO\) равен \(15\) см, а \(BC = 6\) см. Так как \(OE\) лежит на диагонали \(AC\), и треугольник \(ADO\) имеет периметр \(15\) см, \(DO\) и \(AO\) в сумме дают как раз \(15 - AD\). Поскольку мы не знаем длину \(AD\), посмотрим на другие данные. Сказано, что \(BC = 6\) см, а также видно, что \(DOBC\) – прямоугольник, а значит \(DO = BC = 6\) см. Теперь мы знаем, что \(AO + 6\) см \(= 15\) см, откуда \(AO = 9\) см. \(OE\) является средней линией треугольника \(ADO\) и равна половине \(AD\):
\(OE = \dfrac{1}{2}AD\).
Поскольку (AD =
