117
Конечно, давай разберёмся. Вопрос заключается в следующем – представляет ли функция q(x, y) = |arctg(x – y)| метрику на множестве всех вещественных чисел.
Чтобы понять это, надо вспомнить, что такое метрика. Метрика – это функция, которая определяет расстояние между элементами множества и удовлетворяет трем условиям:
- Неотрицательность: d(x, y) ≥ 0, и d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.
- Симметричность: d(x, y) = d(y, x).
- Неравенство треугольника: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Рассмотрим каждое из условий:
- Неотрицательность выполняется, так как модуль всегда дает неотрицательное значение, а арктангенс – ограниченную функцию. При x = y значение arctg(0) равно 0, следовательно |arctg(x – y)|=0.
- Симметричность проверим следующим образом: |arctg(x−y)| должно быть равно |arctg(y−x)|. Так как арктангенс – нечетная функция, то arctg(−(x−y)) = −arctg(x−y), но поскольку мы берём модуль, знак минус не повлияет, и получится одинаковое значение.
- Неравенство треугольника – это самое сложное условие для проверки в данной ситуации. Нам предстоит проверить, верно ли, что |arctg(x−z)| ≤ |arctg(x−y)| + |arctg(y−z)| для любых чисел x, y, z.
На этом этапе всё усложняется, потому что арктангенс – это не линейная функция, и неравенство треугольника для него не выполняется в общем случае. Именно по этой причине функция в данной задаче не будет метрикой. Для метрики должно выполняться неравенство треугольника для любых точек, на нашем множестве это в ряде случаев не соблюдается.
Итак, ответ: нет, данная функция не является метрическим пространством для множества всех вещественных чисел потому что не выполняется неравенство треугольника.
