запиши в поле ответа наименьшее положительное значение корня

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Для начала приведу его к более удобному для решения виду, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \).

Подставим \( \sin^2\theta \) из тождества в наше уравнение:

\( \cos^2 6\pi x - \sin^2 6\pi x = 0 \) \( \cos^2 6\pi x - (1 - \cos^2 6\pi x) = 0 \) \( 2\cos^2 6\pi x = 1 \) \( \cos^2 6\pi x = \frac{1}{2} \)

Теперь найдем \( \cos 6\pi x \), корень из этого выражения:

\( \cos 6\pi x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Косинус равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( 6\pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( 6\pi x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где k - любое целое число.

Теперь нужно решить эти уравнения относительно x.

Для первого уравнения:

\( 6\pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) \( x = \frac{1}{24} + \frac{k}{3} \)

Для второго уравнения:

\( 6\pi x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \) \( x = \frac{7}{24} + \frac{k}{3} \)

Так как нас интересует наименьшее положительное значение, то рассмотрим случай, когда k = 0 для обоих уравнений:

\( x = \frac{1}{24} \) для первого случая; \( x = \frac{7}{24} \) для второго случая.

Наименьшее из этих значений - это \( \frac{1}{24} \).

Вот и решение, надеюсь, объяснение было понятным!