670 Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках Р и Докажите, что AB2= AP AQ (теорема о квадрате касатель ной).

Конечно, давайте докажем теорему о квадрате касательной.

Мы знаем, что AB - касательная к окружности (точка касания обозначена как B), а также секущая, пересекающая окружность в точках P и Q. Давайте обозначим угол между AB и AP как α.

Теперь, так как AB - касательная, то ∠B = 90° (по свойству касательной и радиуса, проведенного к точке касания), а значит, ∠BAP = α. Также, так как AB - касательная, ∠BAQ = α (углы, образованные при пересечении касательной и секущей равны между собой).

Теперь мы видим, что в прямоугольном треугольнике ABP (прямой угол в B) по теореме Пифагора, (AB)² = (AP)² + (BP)². Но так как BP = BA (они равны как радиусы окружности), то (AB)² = (AP)² + (BA)². Следовательно, (AB)² = (AP)² + (BA)².

Аналогично, в треугольнике ABQ (прямой угол в B), по теореме Пифагора, (AB)² = (AQ)² + (BQ)². Но BQ = BA (равные радиусы), поэтому (AB)² = (AQ)² + (BA)². Таким образом, (AB)² = (AQ)² + (BA)².

Из полученных равенств (AB)² = (AP)² + (BA)² и (AB)² = (AQ)² + (BA)² мы можем увидеть, что (AP)² + (BA)² = (AQ)² + (BA)². Значит, (AP)² = (AQ)².

Таким образом, доказано, что AB² = AP * AQ (теорема о квадрате касательной).