Через точку A проведены касательная AB (B - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках P и Q. Докажите, что AB²=AP*AQ (теорема о квадрате касательной).

Дано: касательная AB к окружности с точкой касания B и точки пересечения P и Q. Доказательство:

1. Точка A вне окружности. Проведем радиусы к точкам P и Q, обозначим их как AP и AQ, соответственно.

2. Так как AB - касательная, то угол ABP - прямой, также угол AQB - прямой, так как P, Q, B и радиусы образуют прямые углы.

3. Треугольники APB и AQB подобны по двум углам, так как угол ABP = угол AQB (прямые углы), угол BAP = угол BAQ (из касательности).

4. Соответственно, по свойству подобных треугольников, отношение сторон в этих треугольниках равно. То есть: AB / AP = AP / AQ AB * AQ = AP^2 AB^2 = AP * AQ

Таким образом, доказана теорема о квадрате касательной, что и требовалось доказать.