упрости выражение и дай четкий ответ

Привет! Давай вместе упростим это выражение. На фото у нас есть выражение:

\[ \frac{36^n}{2^{2n+2} \cdot 9^n} \]

Первым делом, давай разобьем это на более простые части. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть степени чисел 36 и 9, которые являются степенями двойки и тройки. Чтобы упростить выражение, можно использовать свойства степеней.

36 можно представить как \(6^2\), а 6, в свою очередь, как \(2 \cdot 3\). Кроме того, 9 - это \(3^2\). Распишем данные нам числа:

\[ 36^n = (6^2)^n = (2 \cdot 3)^{2n} = 2^{2n} \cdot 3^{2n} \]

\[ 9^n = (3^2)^n = 3^{2n} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{2^{2n} \cdot 3^{2n}}{2^{2n+2} \cdot 3^{2n}} \]

Теперь, применяя свойства степеней, уменьшим степени, где это возможно:

\[ \frac{2^{2n}}{2^{2n+2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]

Степени с базой 3 сокращаются, так как они одинаковы в числителе и знаменателе:

\[ 3^{2n} \div 3^{2n} = 1 \]

Так что в итоге у нас остается:

\[ \frac{1}{4} \]

Это и будет упрощенный ответ на задачу.