Реши

Хорошо, давай посмотрим на пример a) из задания:

Нам нужно упростить выражение:

\[ \frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{x}{x^4} \]

Первый шаг - разложим знаменатель первой дроби на множители. Так как \( x^2 - 16 \) является разностью квадратов, его можно разложить как \( (x - 4)(x + 4) \). Теперь первая дробь выглядит так:

\[ \frac{x^2}{(x - 4)(x + 4)} \]

Второй шаг - упростим вторую дробь. Так как \( x^4 \) это \( x^2 \) в квадрате, вторая дробь будет:

\[ \frac{x}{x^2 \cdot x^2} \]

Теперь мы можем сократить \( x \) и одно из \( x^2 \) в знаменателе второй дроби:

\[ \frac{1}{x^2} \]

Теперь у нас есть две дроби:

\[ \frac{x^2}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1}{x^2} \]

Чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель будет \( x^2 \cdot (x - 4)(x + 4) \). Первая дробь уже имеет нужный знаменатель, так что оставим её как есть. Для второй дроби умножим числитель и знаменатель на \( (x - 4)(x + 4) \), чтобы получить общий знаменатель.

Теперь умножим:

Для первой дроби:

\[ \frac{x^2}{x^2(x - 4)(x + 4)} \] - как было

Для второй дроби:

\[ \frac{(x - 4)(x + 4)}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

Теперь мы можем вычесть одну дробь из другой, так как знаменатели у них одинаковые:

\[ \frac{x^2 - (x - 4)(x + 4)}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

\[ \frac{x^2 - (x^2 - 16)}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

\[ \frac{x^2 - x^2 + 16}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

\[ \frac{16}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

Итак, упрощенное выражение:

\[ \frac{16}{x^2(x - 4)(x + 4)} \]

Это итоговый ответ для первого примера.