Найдите значение параметра b, при котором прямая у=b не имеет общих точек с графиком функции у=x-6/x^2-6x +2

Чтобы найти значение параметра \( b \), при котором прямая \( y = b \) не имеет общих точек с графиком функции \( y = \frac{x - 6}{x^2 - 6x + 2} \), нужно определить для каких \( b \) функция не принимает эти значения.

Так как прямая \( y = b \) горизонтальна, то если функция принимает все значения \( y \), то есть она непрерывна и неограниченна вверх или вниз, то любая горизонтальная прямая будет иметь с ней общие точки. Если же у функции есть горизонтальные асимптоты, то значения \( y \), равные асимптотам, могут быть теми значениями, при которых прямая \( y = b \) не будет иметь с графиком функции общих точек.

Для функции \( y = \frac{x - 6}{x^2 - 6x + 2} \), чтобы найти горизонтальные асимптоты, нужно рассмотреть ее поведение при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \). Мы видим, что старшие степени в числителе и знаменателе – это \( x \) и \( x^2 \) соответственно. Таким образом, при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) функция будет стремиться к нулю. Значит у функции есть горизонтальная асимптота \( y = 0 \).

Но мы также должны исследовать функцию на предмет наличия вертикальных асимптот. Вертикальные асимптоты появляются там, где знаменатель обращается в ноль, но числитель при этом не равен нулю. Нам нужно решить уравнение \( x^2 - 6x + 2 = 0 \). Это квадратное уравнение, корни которого можно найти с помощью дискриминанта \( \Delta \).

\( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 \)

Так как дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня. Итак, корни этого уравнения определены как

\( x_1 =\frac{6 - \sqrt{28}}{2} \), \( x_2 =\frac{6 + \sqrt{28}}{2} \)

Эти значения являются точками, в которых знаменатель обращается в ноль и где график функции имеет вертикальные асимптоты (если числитель тоже не обращается в ноль при этих \( x \), что здесь не происходит). Когда \( x \) приближается к этим точкам, значение функции стремится к бесконечности.

Далее необходимо исследовать функцию на предмет экстремумов и точек перегиба, так как они могут указывать на максимальные и минимальные значения функции, если таковые существуют.

Если бы у нас было больше информации о функции или ее графике, мы могли бы сказать больше о значении параметра \( b \). Однако, основываясь на информации задачи и без дальнейшего исследования функции, мы можем сказать, что горизонтальная прямая \( y = b \), вероятно, не пересечет график функции (на основании того, что мы рассмотрели), если \( b = 0 \) или если \( b \) больше или меньше любых максимальных или минимальных значений, которые функция может принимать. Поэтому, чтобы дать конкретный ответ, необходимо провести полное исследование функции.