Решить задачу 4

Привет! Давай решим задачу номер 4 вместе.

Здесь нам дана формула периметра прямоугольного треугольника: \( P = \frac{a + b + c}{2} \), где \( a \) и \( b \) – катеты, а \( c \) – гипотенуза. Также известно, что \( a = 20 \), \( b = 21 \) и \( r = 6 \), где \( r \) – радиус вписанной окружности.

Обычно радиус вписанной окружности \( r \) для прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \( r = \frac{a + b - c}{2} \). Это вытекает из того, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр \( (r = \frac{S}{p}) \), а площадь прямоугольного треугольника \( S = \frac{a \cdot b}{2} \). Тогда полупериметр можно выразить как \( p = \frac{a + b + c}{2} \), и приравнивая два выражения для \( r \), получаем \( r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{a + b - c}{2} \).

Итак, подставляем известные значения и находим \( c \):

\( 6 = \frac{20 + 21 - c}{2} \)

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\( 12 = 20 + 21 - c \)

\( 12 = 41 - c \)

Теперь выразим \( c \):

\( c = 41 - 12 \)

\( c = 29 \)

Теперь мы можем найти периметр треугольника \( P \):

\( P = a + b + c \)

\( P = 20 + 21 + 29 \)

\( P = 70 \)

Периметр данного прямоугольного треугольника равен 70. Это и есть ответ к задаче.

Если что-то непонятно или возникнут еще вопросы, пиши – помогу разобраться!