Докажите, что сумма кубов трёх последовательных целых чисел делит- ся на 3.

Давайте докажем это утверждение по индукции.

1. Первым шагом возьмем три последовательных целых числа: \( n, n+1, n+2 \).
2. Теперь найдем их кубы: \( n^3, (n+1)^3, (n+2)^3 \).
3. Сложим эти кубы: \( n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 \).
4. Раскроем скобки и упростим выражение: \( n^3 + n^3 + 3n^2 + n + n^3 + 6n^2 + 12n + 8 \).
5. Получим: \( 3n^3 + 9n^2 + 13n + 8 \).
6. Теперь докажем, что это выражение делится на 3.
7. Заметим, что каждый из членов \( 3n^3, 9n^2, 13n, 8 \) делится на 3.
8. Таким образом, сумма кубов трех последовательных целых чисел всегда делится на 3.