Докажите, что сумма кубов трёх последовательных целых чисел делит- ся на 3.

Давайте докажем это утверждение. Предположим, что наши последовательные целые числа обозначены как n, n+1 и n+2. Их кубы будут равны n^3, (n+1)^3 и (n+2)^3 соответственно. Теперь найдем сумму этих кубов:

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = n^3 + (n+1)(n+1)(n+1) + (n+2)(n+2)(n+2) = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9

Теперь давайте посмотрим на это выражение с точки зрения деления на 3. Мы видим, что каждый член (3n^3, 9n^2, 15n и 9) делится на 3, поэтому их сумма тоже будет делиться на 3. Таким образом, сумма кубов трёх последовательных целых чисел действительно делится на 3.