305. Составьте уравнение окружности, описанной около: а) пря- моугольного треугольника АВС с вершинами в точках А(0; 16), B(12; 0), C(0; 0); б) равностороннего треугольника NMK,…
305. Составьте уравнение окружности, описанной около: а) пря- моугольного треугольника АВС с вершинами в точках А(0; 16), B(12; 0), C(0; 0); б) равностороннего треугольника NMK, коорди- наты вершин которого равны N(- 3sqrt(3); 0) M(0; 9), K(3sqrt(3); 0)
Для составления уравнения окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС с вершинами в точках А(0; 16), B(12; 0), C(0; 0), нам необходимо использовать свойство перпендикулярности биссектрис катетов прямоугольного треугольника.
Так как окружность, описанная около прямоугольного треугольника, проходит через вершины треугольника, то её центр будет находиться в середине гипотенузы.
Найдем середину гипотенузы: Середина гипотенузы: M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) M = ((0 + 12) / 2, (16 + 0) / 2) = (6, 8)
Найдем радиус окружности: Радиус = расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника R = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2), где (x1, y1) - координаты центра, (x, y) - координаты вершины
Выберем вершину A(0; 16): R = √((6 - 0)^2 + (8 - 16)^2) = √(6^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10
Таким образом, уравнение окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, будет: (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 10^2
Для б): равносторонний треугольник NМK со стороной а = 9 имеет центр описанной окружности в точке, где пересекаются медианы треугольника. Центр окружности будет находиться в точке, которая делит медиану треугольника на отрезки в соотношении 2:1 от вершины до середины.
Найдем середину стороны NM: (x, y) = ((-3√3 + 3√3) / 2, (0 + 9) / 2) = (0, 4.5)
Радиус окружности: R = √(0^2 + (4.5 - 0)^2) = √(0 + 20.25) = √20.25 = 4.5
Уравнение окружности, описанной около равностороннего треугольника NMK, будет: (x - 0)^2 + (y - 4.5)^2 = 4.5^2
