Докажите тождество

Давай разбираться с заданиями по одному. Сначала возьмем задание (a), чтобы доказать тождество.

Для начала упростим левую часть тождества: (a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = ...

Для этого раскроем скобки: a * 4c + a * 2a - 3c * 4c - 3c * 2a + 3c * a + 3c * 3c = ...

Теперь упростим выражение: 4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac + 3ac + 9c^2 = ...

Сгруппируем подобные слагаемые и упростим: (4ac - 6ac + 3ac) + 2a^2 - (12c^2 - 9c^2) = ... (1ac) + 2a^2 - 3c^2 = ... ac + 2a^2 - 3c^2

Теперь обратим внимание на правую часть тождества: (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2 = ...

Раскроем скобки: 2a * 3c + 2a * 5a - c * 3c - c * 5a - 8a^2 = ...

Упрости полученное выражение: 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 8a^2 = ...

Группируем подобные слагаемые: (6ac - 5ac) + (10a^2 - 8a^2) - 3c^2 = ... ac + 2a^2 - 3c^2

Мы получили одинаковое выражение для левой и правой частей, следовательно, тождество доказано: ac + 2a^2 - 3c^2 = ac + 2a^2 - 3c^2

Перейдем к пункту (b). Проверим тождество: (1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b)

Сначала раскроем скобки слева: 1 * 1 - 1 * 5b + 1 * b^2 - 2b * 1 + 2b * 5b - 2b * b^2 + 2b * 1 - 2b * 6b + 2b * b^2 - 1 * 1 + 1 * 6b - 1 * b^2 = ...

Упрощаем: 1 - 5b + b^2 - 2b + 10b^2 - 2b^3 + 2b - 12b^2 + 2b^3 - 1 + 6b - b^2 = ...

Группируем подобные: (1 - 1) + (- 5b - 2b + 2b + 6b) + (b^2 + 10b^2 - 2b^3 + 2b^3 - 12b^2 - b^2) = ... 0b^0 + 1b + (0b^3 - 2b^2) = ... -b - 2b^2

Теперь упростим правую часть тождества: b(1 - 2b) = ... b - 2b^2

Полученные выражения для левой и правой частей совпадают, значит тождество доказано: -b - 2b^2 = b - 2b^2