Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 𝑦 =х³-3х²-2
Функция \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) имеет экстремумы и меняет свой характер на определенных промежутках. Для поиска промежутков монотонности и экстремумов нам необходимо произвести анализ производной этой функции.
Найдем производную функции \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \): \( y' = 3x^2 - 6x \).
Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение производной равной нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \). Это уравнение можно упростить до \( 3x(x - 2) = 0 \), что дает нам корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
Теперь для анализа знаков производной и определения промежутков монотонности можно построить таблицу знаков:
- при \( x < 0 \), производная \( y' > 0 \) => функция возрастает
- при \( 0 < x < 2 \), производная \( y' < 0 \) => функция убывает
- при \( x > 2 \), производная \( y' > 0 \) => функция возрастает
Итак, промежутки монотонности функции \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) таковы:
- возрастание на \((-∞, 0)\) и \((2, +∞)\)
- убывание на \((0, 2)\)
Экстремумы функции находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 2 \), где имеются соответственно локальный минимум и локальный максимум.
