Решите задачу. Дополните решение. Окружности с центрами в точках О и O1 пересекаются в точках M и N. Докажите, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом. Доказательство: Достроим ∆MON и ∆MO 1 N. Для этого проведем соединяющие центры с точками окружностей. Рассмотрим ∆OMO 1 и ∆ONO 1. Они по признаку равенства треугольников, так как OM = (как радиусы окружностей), а ON = (как радиусы), сторона OO 1 у них общая. Из равенства ∆OMO 1 и следует, что и ∆MON 1 – . Поэтому ∠MOR = , а ∠MO 1 R = . Значит OR и O 1 R – угла ∠MON и соответственно. Мы знаем, что в треугольнике угла при вершине является , следовательно, ⊥ MN и ⊥ MN. По теореме о перпендикуляра, проведенного , , MN ⊥ OO 1. Что и требовалось доказать. равносторонние из любой точки пересечения высотой высота окружностей равнобедренные ∆MON OM1 единственности ∠NOR равнобедренном медиана на прямой биссектриса O1R углы ∆ONO1 ON1 первому отрезки второму биссектрисы ∠MO1N не лежащей равны ∠NO1R третьему OR

Question 1

Задача Задача №919519

А

Аноним

22 апреля 2024 11:49 · публичный вопрос

А

Аноним 22 апреля 2024 11:49

Решите задачу. Дополните решение. Окружности с центрами в точках О и O1 пересекаются в точках M и N. Докажите, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом. Доказательство: Достроим ∆MON и ∆MO 1 N. Для этого проведем соединяющие центры с точками окружностей. Рассмотрим ∆OMO 1 и ∆ONO 1. Они по признаку равенства треугольников, так как OM = (как радиусы окружностей), а ON = (как радиусы), сторона OO 1 у них общая. Из равенства ∆OMO 1 и следует, что и ∆MON 1 – . Поэтому ∠MOR = , а ∠MO 1 R = . Значит OR и O 1 R – угла ∠MON и соответственно. Мы знаем, что в треугольнике угла при вершине является , следовательно, ⊥ MN и ⊥ MN. По теореме о перпендикуляра, проведенного , , MN ⊥ OO 1. Что и требовалось доказать. равносторонние из любой точки пересечения высотой высота окружностей равнобедренные ∆MON OM1 единственности ∠NOR равнобедренном медиана на прямой биссектриса O1R углы ∆ONO1 ON1 первому отрезки второму биссектрисы ∠MO1N не лежащей равны ∠NO1R третьему OR

Answer

Для доказательства того, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом, мы можем воспользоваться свойствами равенства треугольников.

Первоначально, мы можем построить треугольники ∆MON и ∆MO1N, соединив центры окружностей с точками их пересечения. Рассмотрим треугольники ∆OMO1 и ∆ONO1. По признаку равенства треугольников мы знаем, что OM равен радиусу первой окружности, а ON равен радиусу второй окружности, и сторона OO1 общая у них.

Из равенства треугольников ∆OMO1 и ∆ONO1 следует, что угол MOR равен углу MON1. Поэтому угол MOR равен ∠, а угол MO1R равен ∠. Это означает, что отрезки OR и O1R образуют углы ∠MON и ∠ соответственно.

Зная, что в равнобедренном треугольнике угол при вершине является прямым, мы получаем, что MN перпендикулярно отрезку OO1. Таким образом, секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей, под прямым углом, что и требовалось доказать.

Question 2

Решите задачу. Дополните решение. Окружности с центрами в точках О и O1 пересекаются в точках M и N. Докажите, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом. Доказательство: Достроим ∆MON и ∆MO 1 N. Для этого проведем соединяющие центры с точками окружностей. Рассмотрим ∆OMO 1 и ∆ONO 1. Они по признаку равенства треугольников, так как OM = (как радиусы окружностей), а ON = (как радиусы), сторона OO 1 у них общая. Из равенства ∆OMO 1 и следует, что и ∆MON 1 – . Поэтому ∠MOR = , а ∠MO 1 R = . Значит OR и O 1 R – угла ∠MON и соответственно. Мы знаем, что в треугольнике угла при вершине является , следовательно, ⊥ MN и ⊥ MN. По теореме о перпендикуляра, проведенного , , MN ⊥ OO 1. Что и требовалось доказать. равносторонние из любой точки пересечения высотой высота окружностей равнобедренные ∆MON OM1 единственности ∠NOR равнобедренном медиана на прямой биссектриса O1R углы ∆ONO1 ON1 первому отрезки второму биссектрисы ∠MO1N не лежащей равны ∠NO1R третьему OR

Answer

Для доказательства того, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом, мы можем воспользоваться свойствами равенства треугольников. Первоначально, мы можем построить треугольники ∆MON и ∆MO1N, соединив центры окружностей с точками их пересечения. Рассмотрим треугольники ∆OMO1 и ∆ONO1. По признаку равенства треугольников мы знаем, что OM равен радиусу первой окружности, а ON равен радиусу второй окружности, и сторона OO1 общая у них. Из равенства треугольников ∆OMO1 и ∆ONO1 следует, что угол MOR равен углу MON1. Поэтому угол MOR равен ∠, а угол MO1R равен ∠. Это означает, что отрезки OR и O1R образуют углы ∠MON и ∠ соответственно. Зная, что в равнобедренном треугольнике угол при вершине является прямым, мы получаем, что MN перпендикулярно отрезку OO1. Таким образом, секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей, под прямым углом, что и требовалось доказать.