5. Скорость движения точки изменяется по закону v = 3t - 4t (м/с). Найти путь S, пройденный за 5 секунду

Для нахождения пути \( S \), пройденного точкой за 5 секунд, мы используем формулу, связывающую скорость и путь. Дано, что скорость \( v \) равна \( 3t - 4t \) (м/с). Чтобы найти путь, нужно интегрировать данную функцию скорости по времени.

Интегрируя выражение \( 3t - 4t \) по времени от 0 до 5 секунд, мы получим:

\[ S = \int_{0}^{5} (3t - 4t) dt \]

Вычисляем определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{3}{2}t^2 - 2t^2 \right]_0^5 \]

\[ S = \left( \frac{3}{2} \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^2 \right) \]

\[ S = \left( \frac{3}{2} \cdot 25 - 2 \cdot 25 \right) \]

\[ S = \left( \frac{75}{2} - 50 \right) \]

\[ S = \frac{75}{2} - 50 = \frac{75 - 100}{2} = \frac{-25}{2} = -12.5 \text{ м} \]

Таким образом, точка пройдет путь \( -12.5 \) м за 5 секунд. Обратите внимание, что знак "-" указывает на направление движения точки.