У пятиугольника равны все диагонали и пять углов между ними при всех вершинах. Докажите, что у этого пятиугольника равны все стороны.

Пусть у пятиугольника ABCDE все диагонали равны, а углы между ними при каждой вершине равны. Обозначим их как α.

Из угла ВAC и угла CAD следует, что угол ВAD = α + α = 2α.

Аналогично, из угла CAD и угла DAE следует, что угол CAE = α + α = 2α.

Таким образом, угол ВAE = угол ВAD + угол CAE = 2α + 2α = 4α.

Аналогично, можно показать, что угол CBE = 4α.

Заметим, что угол ВAE + угол AED + угол DEA = 360° (сумма углов в пятиугольнике).

Следовательно, 4α + 4α + 4α = 360°,

или 12α = 360°,

что означает, что α = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник BAE. В нем углы BAE и ABE равны (по построению), а угол BEA равен 2α = 60°.

Из суммы углов треугольника следует, что BAE + ABE + BEA = 180°,

или 30° + 30° + 60° = 180°,

что верно.

Таким образом, у треугольника BAE все углы равны, а значит, он является равносторонним.

Аналогично можно показать, что и треугольники BCD, CDE, DEA и ABC являются равносторонними.

Таким образом, все стороны у пятиугольника ABCDE равны, что и требовалось доказать.