У пятиугольника равны все диагонали и пять углов между ними при всех вершинах. Докажите, что у этого пятиугольника равны все стороны.

Доказательство:

Пусть у нас есть пятиугольник ABCDE, в котором равны все диагонали и пять углов между ними при всех вершинах.

Рассмотрим диагонали AC и CE. Поскольку углы между диагоналями при вершине C равны, а диагонали равны, то треугольники ABC и CDE являются равнобедренными.

Теперь рассмотрим углы между диагоналями при вершине A. Поскольку диагонали равны, то треугольники ABC и ACD являются равнобедренными, и углы ABC и ACD равны. Аналогично, углы ADE и AED равны.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то из равенства углов ABC и ACD следует, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, то же самое верно для треугольника CDE. Таким образом, углы ABC и CDE равны.

Отсюда следует, что треугольники ABC и CDE являются равносторонними, а значит, стороны AB и CD равны.

Аналогичным образом можно показать, что стороны BC, DE и EA также равны.

Таким образом, у этого пятиугольника равны все стороны.

Доказательство завершено.