Реши

Поехали, посмотрим, что у нас тут!

1. Вычислить:
   1. sin 765°;
   2. cos \( \frac{19\pi}{6} \).

Для первого нужно сначала привести угол к промежутку от 0° до 360°, потому что синус повторяется каждые 360°. Для этого отнять от 765° столько раз 360°, сколько нужно, чтобы получить число меньше 360°. То есть 765° - 2 * 360° = 45°. Теперь можно найти sin 45°, который равен \( \sqrt{2}/2 \).

Для второго аналогично приведем угол к интервалу от 0 до \( 2\pi \). \( \frac{19\pi}{6} \) больше чем \( 2\pi \) на \( \frac{\pi}{6} \), так что вычтем \( 2\pi \), получим cos \( \frac{\pi}{6} \), что равно \( \sqrt{3}/2 \).

2. Вычислить cos α, если sin α = 0,3 и \( \frac{7\pi}{2} < \alpha < \frac{5\pi}{2} \).

Здесь нам нужно использовать тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1. Так что cos² α = 1 - sin² α. Подставим значение sin α и найдем cos α, учитывая, что он будет отрицательным, так как \( \frac{7\pi}{2} < \alpha < \frac{5\pi}{2} \), и это вторая координатная четверть, где косинус отрицателен. То есть cos α = - \( \sqrt{1 - 0,3^2} \) = - \( \sqrt{0,91} \).

3. Упростить выражение:

1. cos(α - β) - cos(α + β);
2. cos \( \frac{3\pi}{2} - α \) + cos(π + α).

Используем формулу для разности косинусов: \( cos(α - β) - cos(α + β) = -2sin\frac{(α+β-α+β)}{2}sin\frac{(α-β+(α+β))}{2} = -2sin(β)sin(2α) \). Теперь во втором: cos \( \frac{3\pi}{2} - α \) = sin α (так как это сдвиг на \( \frac{\pi}{2} \)), а cos(π + α) = -cos α. То есть получаем sin α - cos α.

4. Решить уравнение:
   1. 2 sin \( \frac{x}{2} \) = 1 - cos x;
   2. cos \( \frac{3\pi}{2} + x \) * cos 3x - cos(π - x) sin 3x = -1.

Первое преобразуем, используя формулу двойного аргумента, cos x = 1 - 2 sin² \( \frac{x}{2} \), тогда 2 sin \( \frac{x}{2} \) = 2 sin² \( \frac{x}{2} \). Отсюда sin \( \frac{x}{2} \)(1 - sin \( \frac{x}{2} \)) = 0. Получаем sin \( \frac{x}{2} \) = 0 или sin \( \frac{x}{2} \) = 1, откуда находим значения x.

Во втором использовать то, что cos(π - x) = -cos x, и cos \( \frac{3\pi}{2} + x \) = sin x. Тогда уравнение станет sin x * cos 3x + cos x * sin 3x = -1, что приводится к формуле синуса суммы: sin(3x + x) = sin 4x = -1. Отсюда находим корни уравнения.

Надеюсь, этот разбор поможет тебе, и если что-то непонятно — спрашивай!