655

Привет! Давай вместе решим задачу под номером 655, которая на фото. Нужно найти количество сторон многоугольника, у которого 54 диагонали.

Сначала вспомним формулу для вычисления количества диагоналей многоугольника: \(D = \frac{n(n - 3)}{2}\), где \(D\) - количество диагоналей, а \(n\) - количество сторон.

Теперь у нас есть уравнение: \[\frac{n(n - 3)}{2} = 54\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[n(n - 3) = 108\]

Раскроем скобки: \[n^2 - 3n - 108 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Способом подбора или используя теорему Виета найдём корни уравнения \(n_1\) и \(n_2\), такие, что \(n_1 \cdot n_2\) равно свободному члену (-108), а \(n_1 + n_2\) равно коэффициенту при \(n\) с противоположным знаком (3). Сразу можно отметить, что один из корней должен быть положительным, так как отрицательное количество сторон не имеет смысла.

Подберем корни: \[n^2 - 12n + 9n - 108 = 0\] \[n(n - 12) + 9(n - 12) = 0\] \[(n + 9)(n - 12) = 0\]

Итак, \(n + 9 = 0\) или \(n - 12 = 0\). Отрицательный корень \(n = -9\) отбрасываем, так как количество сторон не может быть отрицательным. Остается \(n = 12\).

Ответ: у многоугольника 12 сторон.