В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, ребро основания равно 3. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с наклоненным боковым ребром, нам необходимо знать длину бокового ребра и длину ребра основания.

Так как боковое ребро наклонено под углом 45° к плоскости основания, образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза (боковое ребро пирамиды) равна \(3\), а один катет равен \(3\cos{45°} = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Теперь можно найти высоту пирамиды, являющуюся вторым катетом прямоугольного треугольника. Для этого используем формулу Пифагора: \(h = \sqrt{3^2 - (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

И, наконец, для нахождения объема пирамиды, применим формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды. Учитывая, что у нас треугольное основание, площадь равна \(S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника, равная \(3\) в нашем случае.

Итак, объём пирамиды будет равен: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{27\sqrt{6}}{24} = \frac{9\sqrt{6}}{8} \]

Таким образом, объем этой правильной треугольной пирамиды равен \(\frac{9\sqrt{6}}{8}\).