Найти возрастание и убывание функции
Привет! Давай разберемся вместе. Тебе нужно найти интервалы возрастания и убывания функции, верно? Для этого нам сначала нужно найти производную функции \( f(x) \), а потом определить, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает).
У тебя есть функция \( f(x) = x^3 + x^2 + 16 \).
Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 + 2x \).
Теперь найдем нули производной, путем решения уравнения \( 3x^2 + 2x = 0 \):
\( x(3x + 2) = 0 \)
Отсюда \( x = 0 \) или \( 3x + 2 = 0 \) => \( x = -2/3 \).
- У нас есть два значения \( x \), при которых производная равна нулю. Разделим числовую ось на интервалы этими точками и определим знак производной в каждом интервале:
- \( (-\infty, -2/3) \)
- \( (-2/3, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
- Возьмем по точке из каждого интервала и подставим в производную:
- Для интервала \( (-\infty, -2/3) \) возьмем \( x = -1 \): \( 3(-1)^2 + 2(-1) = 3 - 2 = 1 \), производная положительна, функция возрастает.
- Для интервала \( (-2/3, 0) \) возьмем \( x = -1/2 \): \( 3(-1/2)^2 + 2(-1/2) = 3/4 - 1 = -1/4 \), производная отрицательна, функция убывает.
- Для интервала \( (0, +\infty) \) возьмем \( x = 1 \): \( 3(1)^2 + 2(1) = 5 \), производная положительна, функция возрастает.
Итак, мы видим, что функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -2/3) \) и \( (0, +\infty) \), и убывает на интервале \( (-2/3, 0) \).
Вот и всё! Надеюсь, объяснение было понятным. Если что-то не ясно - спрашивай, разберем подробнее.
