Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной гиперболой y²=x, прямыми x=2, x=4

Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной гиперболой y²=x, прямыми x=2, x=4, нам необходимо использовать метод цилиндрических рамок (метод цилиндров).

По условию задачи, фигура ограничена гиперболой y²=x и прямыми x=2, x=4. Сначала определим точки пересечения гиперболы и прямых.

Уравнение гиперболы y²=x можно переписать как y=sqrt(x), где x находится в диапазоне от 2 до 4 из-за прямых x=2 и x=4. Подставляя x=2 и x=4, получаем соответственно y=sqrt(2) и y=sqrt(4)=2.

Теперь мы можем построить кривую, образуемую вращением гиперболы вокруг оси Ox между x=2 и x=4. Эта кривая будет объемной фигурой, которую мы ищем.

Далее, используя интеграл, можно найти объем этого тела. Формула для объема, полученного вращением кривой вокруг оси Ox, задается интегралом V=π∫[a, b] f(x)²dx, где f(x) - функция, описывающая кривую, a и b - пределы интегрирования.

Подставив функцию для нашей кривой в качестве f(x)=sqrt(x), пределы интегрирования от 2 до 4, и проинтегрировав, мы сможем найти объем искомой объемной фигуры.