расшифруйте
Конечно, давай разбираться вместе! Это задание на производные функций. Сначала мы найдем производные данных функций, а потом подставим указанные значения аргумента.
\( f(x)=\sqrt{3x} \) Производная будет: \( \frac{1}{2\sqrt{3x}}\cdot 3 \) Подставляем \( x=1 \): \( f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3}} \) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получится \( \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( f(x)=5\sqrt{x^2+2} \) Производная: \( \frac{1}{2\sqrt{x^2+2}}\cdot 5\cdot 2x \) Подставляем \( x=-1/3 \): \( f'(-1/3) = \frac{1}{2\sqrt{(-1/3)^2+2}}\cdot 5\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1/9+18/9}}\cdot (-10/3) \) \( = \frac{1}{2\sqrt{19/9}}\cdot (-10/3) = \frac{-10}{6\sqrt{19}} = \frac{-5}{3\sqrt{19}} \) Опять умножаем на \(\sqrt{19}\) чтобы избавиться от иррациональности, получим \( \frac{-5\sqrt{19}}{3\cdot 19} = \frac{-5\sqrt{19}}{57} \)
С остальными функциями надо поступить так же. Давай пройдемся по каждому пункту:
\( f(x) = 12\ln(x^2+1) \) Производная: \( f'(x) = \frac{12\cdot 2x}{x^2+1} \) Подставим \( x=1 \): \( f'(1) = \frac{24\cdot 1}{1^2+1} = \frac{24}{2} = 12 \)
\( f(x) = x^5 + x^3 + 2x \) Производная: \( f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 2 \) Подставим \( x=-1 \): \( f'(-1) = 5(-1)^4 + 3(-1)^2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 10 \)
\( f(x) = 2 \cos 2x \) Производная: \( f'(x) = -2\cdot 2 \sin 2x \) Подставим \( x=-\pi/4 \): \( f'(-\pi/4) = -4 \sin (-\pi/2) = -4 \cdot (-1) = 4 \)
\( f(x) = (1/2) \cos 3x \) Производная: \( f'(x) = -(1/2)\cdot 3 \sin 3x \) Подставим \( x=\pi \): \( f'(\pi) = -\frac{3}{2} \sin 3\pi = -\frac{3}{2} \cdot 0 = 0 \)
\( f(x) = \tan x \) Производная: \( f'(x) = \sec^2 x \) Подставим \( x=\pi/10 \): \( f'(\pi/10) = \sec^2(\pi/10) \), нужно из таблицы значений тригонометрических функций узнать \( \cos(\pi/10) \) и возвести его в квадрат, чтобы находить величину \( \sec^2(\pi/10) \). Но поскольку численное значение неизвестно, оставим в таком виде.
Теперь чтобы "расшифровать", как назвал Исаак Ньютон производную функции, нужно вписать получившиеся численные значения в табло результатов. Попробуй приписать правильные числа и посмотрим, что у тебя получится!
