Решите

Привет! Давай решим задачи на нахождение уравнений касательных.

Для начала вспомним, что уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой a имеет вид y = f'(a)(x - a) + f(a), где f'(a) - это производная функции f(x) в точке a.

Вариант 1

Дана функция f(x) = x^(1/2) + x + 1 и точка a = 1. Найдём производную:

f'(x) = (1/2)x^(-1/2) + 1.

Подставим a в производную и саму функцию чтобы найти f'(a) и f(a):

f'(1) = (1/2)*1^(-1/2) + 1 = (1/2) + 1 = 1.5,
f(1) = 1^(1/2) + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Теперь подставим эти значения в формулу уравнения касательной:

y = 1.5(x - 1) + 3,
y = 1.5x - 1.5 + 3,
y = 1.5x + 1.5.

Это уравнение касательной для первого варианта.

Вариант 2

Для функции f(x) = x - x^3 и точки a = 2 сделаем тоже самое.

Находим производную:

f'(x) = 1 - 3x^2.

Теперь вычислим f'(a) и f(a):

f'(2) = 1 - 3*2^2 = 1 - 3*4 = 1 - 12 = -11,
f(2) = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6.

И подставим в формулу касательной:

y = -11(x - 2) - 6,
y = -11x + 22 - 6,
y = -11x + 16.

Это уравнение касательной для второго варианта.

Вот, оба уравнения теперь у нас есть. Надеюсь, объяснение было понятно!