Выполнить задания

Хорошо, давай разбираться с этими задачами вместе.

Задача 12. Надо найти скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется как \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \times \cos(\theta) \), где \( \theta \) – угол между векторами.

1. Итак, если \( |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 2 \) и угол между ними 60 градусов (\( \cos(60^{\circ}) = 0.5 \)), то: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 2 \times 0.5 = 2 \)

2. Если \( |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1 \) и угол между ними 135 градусов (\( \cos(135^{\circ}) = -\sqrt{2}/2 \)), то: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 1 \times (-\sqrt{2}/2) = -\sqrt{2}/2 \)

Задача 13. Нужно определить, какой угол образуют векторы (острый или тупой).

Для этого посмотрим на знак скалярного произведения. Если скалярное произведение положительное, векторы образуют острый угол; если отрицательное – тупой.

1. Векторы \( \mathbf{a}(1, -1) \) и \( \mathbf{b}(2, 0) \): их скалярное произведение равно \( 1 \times 2 + (-1) \times 0 = 2 \). Так как получилось положительное число, угол острый.

2. Векторы \( \mathbf{a}(2, 7) \) и \( \mathbf{b}(5, -3) \): их скалярное произведение равно \( 2 \times 5 + 7 \times (-3) = 10 - 21 = -11 \). Отрицательный результат говорит о том, что векторы образуют тупой угол.

3. Векторы \( \mathbf{a}(0, 6) \) и \( \mathbf{b}(10, -1) \): их скалярное произведение равно \( 0 \times 10 + 6 \times (-1) = -6 \). Результат отрицательный, значит угол тупой.

Вот так, надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что-то непонятно, не стесняйся спросить.