.
Привет! На изображении у нас неравенство с логарифмами: log(x) + log(x + 1) > log(2). Давай разберёмся, как решить эту задачку.
Чтобы решить это неравенство, нужно сначала понять, что логарифмическая функция возрастает, поэтому мы можем объединять логарифмы под одним логарифмом, используя свойства логарифмов. Так как основание логарифма не указано, предполагается, что это 10, но это свойство работает для любого положительного основания, кроме 1.
Применим свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(ab), получим: log(x(x + 1)) > log(2)
Теперь можно убрать логарифмы, так как если log(a) > log(b), то a > b при условии, что a и b положительны и основание логарифма больше 1. Получается: x(x + 1) > 2
Раскроем скобки: x^2 + x > 2
Перенесём все члены в одну сторону для получения квадратного неравенства: x^2 + x - 2 > 0
Решим квадратное уравнение x^2 + x - 2 = 0 для нахождения критических точек: Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3)/2 = 1 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3)/2 = -2
Теперь у нас есть точки -2 и 1, которые делят числовую ось на интервалы. Подставим значения из этих интервалов в неравенство, чтобы понять, где оно выполняется. Так как функция x^2 + x - 2 > 0 является параболой, ветви которой направлены вверх (коэффициент a > 0), неравенство будет выполняться за пределами корней.
Значит, нужно взять интервалы x < -2 и x > 1. Но не забываем про ОДЗ (область допустимых значений) логарифма: x > 0 и x + 1 > 0, откуда следует, что x > -1. Таким образом, первый интервал (-∞, -2) не подходит, потому что логарифм не определён для отрицательных чисел. Остаётся интервал (1, ∞).
Ответ: x > 1.
