оно

На фото представлены математические выражения из задания школьного учебника. Твоя задача - найти наибольшее значение выражения "б" под номером 865. В выражении имеем:

\[ \frac{1}{3} - 2y \bigg( \frac{1}{3} + 2y \bigg) \]

Для того чтобы найти наибольшее значение, давай раскроем скобки:

\[ \frac{1}{3} - 2y \cdot \frac{1}{3} - 2y \cdot 2y \] \[ \frac{1}{3} - \frac{2y}{3} - 4y^2 \]

Теперь упростим выражение и получим квадратный трехчлен:

\[ -4y^2 - \frac{2y}{3} + \frac{1}{3} \]

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \( y^2 \), значит, графиком этой функции является парабола, которая открывается вниз. Следовательно, наибольшее значение функции будет в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины параболы, найдем производную функции и приравняем её к нулю.

\( y \) в этом выражении - переменная, значит, чтобы найти наибольшее значение выражения, нам нужно просто понять, что она принимает при \( y = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) – коэффициент при \( y^2 \), а \( b \) – коэффициент при \( y \). В данном случае \( a = -4 \) и \( b = -\frac{2}{3} \), так что:

\[ y = -\frac{-\frac{2}{3}}{2 \cdot (-4)} \] \[ y = -\frac{-\frac{2}{3}}{-8} \] \[ y = \frac{2}{24} \] \[ y = \frac{1}{12} \]

Подставим теперь это значение обратно в исходное выражение:

\[ -4\bigg(\frac{1}{12}\bigg)^2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{3} \] \[ -4 \cdot \frac{1}{144} - \frac{2}{36} + \frac{1}{3} \] \[ -\frac{1}{36} - \frac{1}{18} + \frac{1}{3} \] \[ -\frac{1}{36} - \frac{2}{36} + \frac{12}{36} \] \[ \frac{9}{36} \] \[ \frac{1}{4} \]

Наибольшее значение выражения равно \( \frac{1}{4} \).