решить

Посмотрим на задачи по очереди:

1. Нам дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \). Известна гипотенуза \( AC = 17 \) и \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). Нужно найти катет \( BC \).

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \( \sin A \) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Здесь \( \sin A = \frac{BC}{AC} \).

Имеем уравнение: \( \frac{BC}{17} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). Чтобы найти \( BC \), умножим обе части уравнения на \( 17 \):

\( BC = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 17 \).

Вычислим:

\( BC = \frac{2\cdot 17\sqrt{5}}{5} = \frac{34\sqrt{5}}{5} \).

Так мы нашли длину катета \( BC \).

2. Дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \), катеты \( AC = \sqrt{3} \), \( BC = 1 \). Нужно найти \( \sin A \).

Так как \(\sin A = \frac{BC}{AB}\), нам сначала нужно найти гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( AB^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \), \( AB = \sqrt{4} = 2 \).

Теперь найдём \( \sin A \):

\( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} \).

3. Дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \), известна сторона \( AC = 8 \) и \( \tan A = 0.5 \). Нужно найти \( BC \).

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значит, \( \tan A = \frac{BC}{AC} \).

Используем это равенство для нахождения \( BC \):

\( BC = AC \cdot \tan A = 8 \cdot 0.5 = 4 \).

Таким образом, длина катета \( BC \) равна 4.