Найти область определения функции

Привет! Давай разбираться с этими функциями по порядку.

Для начала посмотрим на пример (а): \( y = 3x + \frac{8x^2}{24} \)

Здесь функция представлена как линейное уравнение плюс дробь, где числитель и знаменатель – многочлены. Область определения такой функции — все действительные числа, потому что и линейная функция, и дробь с полиномами в числителе и знаменателе определены для всех действительных чисел.

Теперь пример (б): \( y = \frac{5x + 22}{7} \)

Тут мы имеем дело просто с дробью, где в числителе и знаменателе линейные выражения. Так как знаменатель не содержит переменной \( x \), то есть это константа \( 7 \), которая никогда не обращается в ноль, то дробь определена для всех \( x \). Значит, область определения этой функции — тоже все действительные числа.

И наконец, пример (в): \( y = \frac{35}{2x + 3x^2 - 20} \)

Вот тут интереснее, поскольку знаменатель содержит переменную \( x \). Область определения функции вида \( y = \frac{числитель}{знаменатель} \) состоит из всех \( x \), для которых знаменатель не равен нулю. Интересная часть – это найти те значения \( x \), при которых знаменатель обратится в ноль.

Упрощаем знаменатель: \( 2x + 3x^2 - 20 \) \( 3x^2 + 2x - 20 \)

Чтобы найти значения \( x \), при которых дробь не определена (знаменатель равен нулю), нужно решить уравнение: \( 3x^2 + 2x - 20 = 0 \)

Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или факторизацию (если возможно). Я не могу провести этот расчет здесь, но вы легко можете это сделать, исходя из формул квадратного уравнения.

После того как ты найдешь корни квадратного уравнения, область определения функции (в) будет состоять из всех действительных чисел, кроме корней этого уравнения.