Используя

Привет! Давай вместе разберем эту задачу.

Перед нами вопрос по теме интегралов и дан интеграл \(\int_{0}^{\pi} (4 + 2\sin x) dx\), который нужно привести к виду, используя свойства определенного интеграла. Свойство линейности определенного интеграла позволяет разбить интеграл суммы на сумму интегралов, то есть:

\(\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx\)

Таким образом, исходный интеграл можно разбить на два интеграла:

\(\int_{0}^{\pi} 4 dx + \int_{0}^{\pi} 2\sin x dx\)

У нас в вариантах ответов есть похожие разбиения, но нужно выбрать правильное. Нетрудно заметить, что первый интеграл - это просто произведение константы на ширину интервала (площадь прямоугольника), а второй интеграл - интеграл от синуса на отрезке [0; π], который равен нулю, так как синус симметричен относительно π/2 и его площади "выше" и "ниже" оси абсцисс компенсируют друг друга.

Если смотреть на предложенные варианты ответов, верным ответом будет:

\(\int_{0}^{\pi} 4 dx + 2 \int_{0}^{\pi} \sin x dx\)

Так как первый член дает нам константу умноженную на длину интервала, а второй член равен нулю, что соответствует свойствам определенного интеграла. Этот ответ находится в третьем варианте ответов.

Выберем этот вариант.