Найдите

На картинке изображена система уравнений. Давай попробуем её решить.

У нас есть система: \[ \begin{cases} \frac{3^x}{5^y} = \frac{22}{135} \\ \frac{3^x - 5^y}{3^x+5^y}= \frac{22}{135} - 1 \end{cases} \]

Теперь найдем значение \( \frac{3^x}{5^y} \). Мы видим, что \( \frac{22}{135} \) можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 11. Получим \( \frac{2}{15} \). Это и есть наше значение для \( \frac{3^x}{5^y} \).

Теперь посмотрим на второе уравнение системы. Когда мы вычитаем 1 из дроби \( \frac{22}{135} \), мы фактически вычитаем \( \frac{135}{135} \). Это дает нам \( \frac{22}{135} - \frac{135}{135} = \frac{22 - 135}{135} = \frac{-113}{135} \). Сократив на 113, получаем \( \frac{-1}{1.2} \).

Давайте выразим \( 3^x \) и \( 5^y \) через \( \frac{2}{15} \): \[ 3^x = \frac{2}{15} \cdot 5^y \]

Теперь подставим это во второе уравнение системы. \[ \frac{\frac{2}{15} \cdot 5^y - 5^y}{\frac{2}{15} \cdot 5^y + 5^y} = \frac{-1}{1.2} \]

Упростим это: \[ \frac{2 \cdot 5^y - 15 \cdot 5^y}{2 \cdot 5^y + 15 \cdot 5^y} = \frac{-1}{1.2} \] \[ \frac{-13 \cdot 5^y}{17 \cdot 5^y} = \frac{-1}{1.2} \]

Теперь мы можем сократить \( 5^y \): \[ \frac{-13}{17} = \frac{-1}{1.2} \]

Это означает, что у нас есть простое числовое равенство. Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательных чисел: \[ \frac{13}{17} = \frac{1}{1.2} \]

После того, как мы убедились, что числа равны, мы можем вернуться к выражению для \( 3^x \) и \( 5^y \), где \( 3^x = \frac{2}{15} \cdot 5^y \), и установить, что при \( x = 1 \) (поскольку \( 3^1 = 3 \)), и \( y = 2 \) (поскольку \( 5^2 = 25 \)), уравнение примет вид: \( \frac{3}{25} = \frac{2}{15} \), что верно при умножении числителя и знаменателя первой дроби на 3.

Теперь, когда мы нашли \( x \) и \( y \), просто сложим их: \[ xy = 1 \cdot 2 = 2 \]

Ответ: сумма \( xy \) из системы уравнений равна 2.